如果这期间微信用户已经在和客服在会话，是不会推送到服务器的。

https://developers.weixin.qq.com/miniprogram/introduction/custom.html#网页版客服工具与移动端小程序客服工具

若小程序没有启用消息推送，则用户发送的消息将会被转发至网页版和移动端小程序客服工具，客服人员可在网页版与移动端小程序客服工具中接入并回复用户。

如小程序的客服消息权限集已授权给第三方平台，则所有的客服消息将推送到第三方平台的服务器，不再推送到开发者的服务器或推送到网页版客服工具。

注意：“用户通过客服消息按钮进入会话”事件将不会转发至网页版客服工具。

这个文档的第一段就有问题，我的小程序开启了消息推送，同时有客服登陆了网页版，消息仍然会推送到网页版，同时我的服务器也没有收到消息的推送。