(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

对于任意的实数序列$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b_1,b_2,\cdots,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$，当且仅当$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$（当$b_i = 0$时，对应$a_i = 0$，$i = 1,2,\cdots,n$ ）时等号成立。

用的是md格式，公众号对md支持怎么样啊。

markdown 格式

设$\vec{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，$\vec{\beta}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$是两个$n$维实向量，则$|\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}| \leq |\vec{\alpha}| |\vec{\beta}|$，其中$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$是向量$\vec{\alpha}$和$\vec{\beta}$的点积，$|\vec{\alpha}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$，$|\vec{\beta}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$分别是向量$\vec{\alpha}$和$\vec{\beta}$的模长。当且仅当$\vec{\beta}$为零向量，或存在实数$\lambda$，使$\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$时，等号成立。向量形式的柯西不等式直观地反映了向量的长度和夹角之间的关系，在向量运算和几何问题中有着重要的应用 。


例如，在平面直角坐标系中，$\vec{\alpha}=(1,2)$，$\vec{\beta}=(3,4)$，$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=1×3 + 2×4 = 11$，$|\vec{\alpha}| = \sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec{\beta}| = \sqrt{3^2 + 4^2}=5$，$|\vec{\alpha}| |\vec{\beta}| = 5\sqrt{5}\approx11.18$，$11\lt11.18$，满足该不等式。

这的确是办法，但是有强迫症想用文本。markdown 支持应该可以，知乎上面支持的。